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(全优试卷)吉林省扶余市高二数学上学期期末考试试题 理1

发布时间:

全优试卷

扶余市第一中学 2015—2016 学年度上学 期期末考试 高二数学(理)
本试卷分第 I 卷(选择题)、第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题共 60 分)

注意事项:

1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、考号用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡

皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 下列说法中,正确的是

A.命题“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.命题“存在 x ? R, x2 ? x ? 0 ”的否定是:“任意 x ? R, x2 ? x ? 0 ”
C.命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题
D.已知 x ? R ,则“ x ?1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件

2.

已知

?1,

a1

,

a2

,

8

成等差数列,

?1,

b1

,

b2

,

b3

,

?4

成等比数列,那么

a1a2 b2

的值为

A. ?5

B. 5

C. ? 5 2

D. 5 2

3. 已知 ?ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 a2 ? b2 ? c2 ? bc , bc ? 4 ,则

?ABC 的面积为

A. 1

B. 1

2

C. 3

D. 2

4.

已知不等式?x

?

y?????

1 x

?

a y

????

?

9

对任意正实数 x,

y 恒成立,则正实数 a 的最小值为

A. 4

B. 1

C. 5

D. 3

5. 已知 a, b 是实数,则“a ?1且b ? 2 ”是“ a2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 5 ? 0 ”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

6. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角

的余弦值为

A. 10 10

B. 1 5

C. 3 10 10

D. 3 5

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7.

已知双曲线 x2 a2

? y2 1? a2

? 1 (a ? 0) 的离心率为

2 ,则 a 的值为

A. 1 2

B. 2 2

C. 1 3

D. 3 3

8. 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F ,直线 y ? 3(x ?1) 与 C 交于 A, B( A 在 x 轴上方)

两点. 若 AF ? mFB ,则 m 的值为

A. 3

B. 3

C. 2

2

D. 3

9. 已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 上有一点 A,它关于原点的对称点为 B,点 F 为椭圆的 a2 b2

右焦点,且满足 AF

? BF ,设 ?ABF

??

,且?

?

?? ??12

,

? 6

? ??

,则该椭圆的离心率

e

的取

值范围为

A.[ 3 ?1 , 3 ] 22

B. [ 3 ? 1 , 6 ] C.[ 3 ? 1, 6 ] D.[ 3 ? 1, 3 ]

23

3

2

10. 在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥*面 ABCD,AB=PD=a.点 E 为侧棱 PC

的中点,又作 DF⊥PB 交 PB 于点 F.则 PB 与*面 EFD 所成角为

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

11. 已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,顶角为 120°,

则 E 的离心率为

A.

B.2

C.

D.

12.

已知点

P

是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1,?a ? 0,b ? 0?

右支上一点, F1, F2

分别是双曲线的

1 左、右焦点, I 为 ?PF1F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? 2 S?IF1F2 成立,则 双曲线的离心

率为 A.4

B. 5 2

C.2

D. 5

3

第 II 卷

二 填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 已知双曲线的两条渐*线的夹角为 60°,则其离心率为



14. 若抛物线 y 2 ? 4x 上一点 M 到焦点的距离为 3,则点 M 到y轴的距离为



15. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、CC1 的中点,则异面直线 EF 与 A1C1 所成角

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的大小是_______.
16. 若椭圆 x2 ? y2 ? 1过抛物线 y2 ? 8x 的焦点, 且与双 曲线 x2 ? y2 ? 1 有相同的焦点, a2 b2
则该椭圆的标 准方程是_______.

三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)

x2 y2 过椭圆16+ 4 =1

内点

M(2,1)引一条弦,使弦被

M

*分,求此弦所在直线的方程.

18. (本题满分 12 分) 中心在原点,焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且|F1F2|=2 13,椭 圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为 4,离心率之比为 3∶7.
(1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这两曲线的一个交点,求△F1PF2 的面积.

19. (本题满分 12 分)

设 F1,F2 分别是椭圆 E : x2

?

y2 b2

? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A,

B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|;
(2)若直线 l 的斜率为 1,求实数 b 的值.

20.(本题满分 12 分)

已知数列 {an } 中,

a1

?

1 ,其前

n

项的和为

Sn

,且满足 an

?

2Sn2 2Sn ?1

(n ≥

2)

.



求证:数列

? ? ?

1 Sn

? ? ?

是等差数列;



证明:当

n



2

时,

S1

?

1 2

S2

?

1 3

S3

?

...

?

1 n

Sn

?

3. 2

21. (本题满分 12 分)

如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PC⊥*面 ABC,PC=3,∠ACB= .D,E 分别为线段 AB,BC 上的
P

点,且 CD=DE= ,CE=2EB=2. (Ⅰ)证明:D E⊥*面 PCD (Ⅱ)求锐二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值.

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22 (本题满分 12 分)

如图,已知椭圆 x2 ? y2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、

a2 b2

2

右焦点 F1, F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ?1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦

点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、B

和 C 、D .
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1·k2 ? 1 ;

(Ⅲ)探究 1 ? 1 是否是个定值,若是,求出这个定值;若 AB CD
不是,请说明理由.

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扶余市第一中学 2015—2016 学年度上学期期末考试

1—12 BACAC CBDCD DC

高二数学(理)参考答案

13. 2 或

14. 2 15. 30°

17.解:设直线与椭圆的交点为

16.

x2 y2 ? ?1

42

A(x1,y1)、B(x2,y2),M(2,1)为 AB 的中点.

∴x1+x2=4,y1+y2=2.又 A、B 两点在椭圆上,

则 x21+4y21=16,x22+4y22=16.

两式相减得(x21-x22)+4(y21-y22)=0.

于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.

∴yx11- -yx22=-

x1+x2 y1+y2

1 =-2,即

kAB=-12.

故所求直线方程为 x+2y-4=0.

x2 y2

x2 y2

18.解: (1)设椭圆方程为a2+b2 =1,双曲线方程为m2-n2=1(a,b,m,n>0,且 a>b),

??a-m=4

则? ??7·

a13=3·

m13,

解得:a=7,m=3,∴b=6,n=2,

x2 y2

x2 y2

∴椭圆方程为49+36=1,双曲线方程为 9 - 4 =1.

(2)不妨设 F1,F2 分别为左、右焦点,P 是第一象限的一个交点,则 PF1+PF2=14,PF1 -PF2=6,
∴PF1=10,PF2=4,∴cos∠F1PF2=PF122+PFP1F·22-PFF21F22=45, ∴sin∠F1PF2=35.∴S△F1PF2=12PF1·PF2sin∠F1PF2=12·10·4·35=12.

19. (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,
又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= 4 3

(2)因为左焦点 F1(?c, 0) ,设 l 的方程为 y=x+c,其中 c ? 1? b2 .
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组

? y? x?c

?

? ??

x2

?

y2 b2

化简,得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.
?1

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x1

?

x2

?

?2c 1? b2

, x1x2

?

1? 2b2 1? b2



因为直线 AB 的斜率为 1,所以 AB ? 2 x2 ? x1 .

即4? 3

2 x2 ? x1 .

? ? 则

8 9

?

( x1

?

x2 )2

?

4x1x2

?

? ?2c ?? 1? b2

2
? ? ?

?

1? 2b2 4?
1? b2

?

8b2 1? b2


2

解得 b ? 2 . 2

20.

解:(1)当 n ? 2 时, Sn

? Sn?1

?

2Sn2 2Sn ?

1



Sn

?1

?

Sn

? 2SnSn?1

1 Sn

?

1 Sn?1

?

2

,从而

? ? ?

1 Sn

? ?

构成以

?

1

为首项,2

为公差的等差数列.

(6 分)

(2)由(1)可知,

1 Sn

?

1 S1

? (n ?1) ? 2

?

2n ?1,?Sn

?

1 2n ?1

?当 n

?

2 时,

1 n

Sn

?

1 n(2n ?1)

?

1 n(2n ?

2)

?

1 2

?

1 n(n ?1)

?

1 2

(1 n ?1

?

1) n

从而

S1

?

1 2

S2

?

1 3

S3

? ... ?

1 n

Sn

?1?

1 2

(1?

1 2

?

1 2

?

1 3

?

?

1 n ?1

?

1) n

?

3 2

?

1 2n

?

3 2

.

21. (Ⅰ)由已知条件易得 PC⊥DE,CD⊥DE,由线面垂直的判定定理可得; (Ⅱ)以 C 为原点,分别以 , , 的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系,易

得 , , 的坐标,可求*面 PAD 的法向量 ,*面 PCD 的法向量 可取 ,由向量

的夹角公式可得. 试题解析:(Ⅰ)证明:∵PC⊥*面 ABC,DE?*面 ABC,∴PC⊥DE, ∵CE=2,CD=DE= ,∴△CDE 为等腰直角三角形, ∴CD⊥DE,∵PC∩CD=C, DE 垂直于*面 PCD 内的两条相交直线, ∴DE⊥*面 PCD
(Ⅱ)由(Ⅰ)知△CDE 为等腰直角三角形,∠DCE= ,

过点 D 作 DF 垂直 CE 于 F,易知 DF=FC=FE=1,又由已知 EB=1,故 FB=2,

由∠ACB= 得 DF∥AC,

,故 AC= DF= ,

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以 C 为原点,分别以 , , 的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 C(0,0,0),P(0,0,3),A( ,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0), ∴ =(1,﹣1,0), =(﹣1,﹣1,3), =( ,﹣1,0),

设*面 PAD 的法向量 =(x,y,z),由



故可取 =(2,1,1), 由(Ⅰ)知 DE⊥*面 PCD,故*面 PCD 的法向量 可取 =(1,﹣1,0),

∴两法向量夹角的余弦值 cos< , >=

=

∴二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值为 .

22. 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意知: c ? 2 ,2a+2c=4( 2 +1)所以 a=2 2 , a2
c=2,
又 a2 = b2 ? c2 ,因此 b=2。故椭圆的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 84

由题意设等轴双曲线的标准方程为

x2 m2

?

y2 m2

?1

?m

? 0? ,因为等轴双曲线的顶点是椭圆的

焦点。 所以 m=2,

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因此双曲线的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 44

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ), F1 ??2, 0?, F2 ?2, 0?

则 k1 =

y0 x0 ? 2

, k2

?

y0 x0 ? 2



因为点 P 在双曲线 x2 ? y2 ? 4 上,所以 x02 ? y02 ? 4 。

因此 k1k2

?

y0 ? x0 ? 2

y0 x0 ? 2

?

y02 x02 ? 4

? 1 ,即 k1k2

?1

(Ⅲ)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),由于 PF1 的方程为 y ? k1 ? x ? 2? ,将其代入椭圆方程

? ? 2k12 ?1 x2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0

所以 x1

?

x2

?

?

8k12 2k12 ?

1

,

x1 ? x2

?

8k12 ? 8 ,所以 2k12 ?1

AB ? 1? k12 ? x1 ? x2 ?2 ? 4x1x2

?

1? k12

? ? ?

8k12 2k12 ?1

?2 ? ?

?

4

?

8k12 2k12

?8 ?1

?4

2

k12 ?1 2k12 ?1

同理可得 CD ? 4

2

k22 ?1 2k22 ?1

.



1 AB

?

1 CD

?

4

1 2

(

2k12 ?1 k12 ?1

?

2kk2222??11)



又 k1k2 ? 1,

所以

1?1 AB CD

?

1 42

(

2k12 ?1 k12 ?1

?

2 k12

?1 )

1

?

2 8

(

2k12 ?1 k12 ?1

?

k12 k12

? 2) ?1

?

32 8

.

k12

故 1 ? 1 ? 3 2 恒成立. AB CD 8

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