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云南省师大附中2014届高考适应性月考卷(一)数学(理)试题(纯word版)

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云南师大附中 2014 届高考适应性月考卷(一) 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? , xn 的标准差
s? 1 ?( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ? ? n?

锥体体积公式

1 V ? Sh 3 其中 S 为底面面积, h 为高
球的表面积,体积公式

其中 x 为样本*均数 柱体体积公式 V

? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高

4 S ? 4?R 2 , V ? ?R 3 3 其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0 , B ? ? x | log 2 x ? 2? ,则 A ? B =

?

?

A. ??4,1, 4? 2.复*面内表示复数

B. ??4, 4?

C. ?1, 4?

D. ?4?

2i 的点位于 1 ? 2i
3

3

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.某几何体的三视图及部分数据如图 1 所示,则此几何体的 体积是

1 正视图 侧视图

3 A. 2
C.2

B. 3 D.3
俯视图

4.下列命题中,假命题是 A. ?x ? R,3
x?2

?0

B. ?x ? N , ( x ? 2) ? 0
* 2

C. ?x0 ? R, lg x0 ? 2
x

D. ?x0 ? R, tan x0 ? 2

5.已知点 (a, b) 在函数 y ? 10 的图像上,则下列中不可能在此图像上的是 A. ? ? a, ?

? ?

1? b?

B. ? a ? 1,10b ?

C. ? a ? 1,10b ?

D. 2 a , b

?

2

?

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6.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 ? 0, 4 ? ,则函数 g ( x) ? 义域是 A. ? 0,1? C. ? 0,1? B. ? 0,1? D. ? 0,1? ? ?1, 4?

f (4 x) 的定 ln x

开始
i ? 1, S ? 10

i ? 10?



7.按如图 2 所示的程序框图,在运行后输出的结果为 A.66 C.55 B.65 D.46


S ? S ?i

输出 S 结束

i ? i ?1

?1? ?1? 8.设 a 、 b 、 c 分别是方程 2 ? log 1 x , ? ? ? log 1 x , ? ? ? log 2 x 的实数根,则有 ?2? ?2? 2 2
x

x

x

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. b ? a ? c

D. c ? a ? b

9 . 已 知 偶 函 数 f ( x) 对 ?x ? R 满 足 f ( 2 x )? f ( ? x,)且 当 ?2 ? x ? 0 时 , ? 2

f ( x)? l o g? ( x,则 )f (2003) 的值为 1 2
A.2011 10.已知点 P 在曲线 y ? B.2
x

C.1

D.0

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1
B. ?

A. ?0,

? ?? ? ? 4?
2

?? ? ? , ? ?4 2?

C. ?

? ? 3? ? , ?2 4 ? ?

D. ?

? 3? ? ,? ? ? 4 ?

11.若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域的一个子区间 (t ? 1, t ? 1) 上不是单调函数,则实数 t 的 取值范围是 A. ?1, ?

? 3? ? 2?

B. ? ??, ? ?

? ?

1? 2?

C. ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

D. ? , ?

?1 3? ?2 2?

12 . 已 知 函 数 f ( x) ?

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 ? 的 两 个 极 值 点 分 别 为 x1 , x2 , 且 x1 ? ( 0, 1), 3 2

x2 ? (1, ??) ,点 P( m, n) 表示的*面区域为 D ,若函数 y ? loga ( x ? 4)(a ? 1) 的图像上存在区
域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为 A. ?1, 3? B. ?1, 3 ? C. ? 3, ?? ? D. ?3, ?? ?

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第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
注意事项:用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.
13.已知函数 f ( x ? 2) ? ?
3

?1 ? x 2 , x ? 2, ? ,则 f (1) = ?x ? 2 , x ? 2, ?



14.设函数 f ( x) ? x cos x ? 1 ,若 f (a) ? 10 ,则 f (?10) = 15.函数 f ( x) ? ( x ? x ? 1)e ( x ? R) 的单调减区间为
2 x

. .

16.已知函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? b) 的定义域为集合 M ,函数 g ( x) ?
2

kx 2 ? 4 x ? k ? 3(k ? R)

的定义域为集合 N 。若 (CR M ) ? N ? N ? ? , (CR M ) ? N ? ? x | ?2 ? x ? 3? ,则实数 k 的取 值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.
17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? sin x cos x 。
2

(1)求函数 f ( x) 在区间 ?

?? ? , ? 上的零点; ?2 ? ?
2

(2)设 g ( x) ? f ( x) ? 3 sin x ,求函数 g ( x) 的图像的对称轴方程。

18. (本小题满分 12 分)某旅游公司提供甲、乙、丙三处旅游景点,游客选择游玩哪个景点互不 影响,已知某游客选择游甲地而不选择游乙地和丙地的概率为 0.08,选择游甲地和乙地而不选择 游丙地的概率为 0.12,在甲、乙、丙三处旅游景点中至少选择一个景点的概率为 0.88,用 ? 表示 该游客在甲、乙、丙三处景点中选择游玩的景点数和没有选择游玩的景点数的乘积。 (1)记“函数 f ( x) ? x ? ? x 是 R 上的偶函数”为事件 A ,求事件 A 的概率;
2

(2)求 ? 的分布列及数学期望。

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19.本小题满分 12 分) ( 已知直角梯形 PBCD , 是 PD 边上的中点 (如图 3 甲) ?D ? ?C ? , A

?
2



BC ? CD ? 2 , PD ? 4 ,将△ PAB 沿 AB 折到△ SAB 的位置,使 SB ? BC ,点 E 在 SD 上, S ??? 1 ??? ? 且 SE ? SD , (如图乙) E A 3 D P
(1)求证: SA ⊥*面 ABCD ; (2)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值。
A B C B C D

20. (本小题满分 12 分)已知一家公司生产某种产品的年固定成本为 10 万元,每生产 1 件该产 品需投入 2.7 万元。设该公司一年内生产该产品 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R ( x)

1 2 ? ?10.8 ? 30 x , 0 ? x ? 10, ? 万元,且 R( x) ? ? 。 108 1000 ? ? 2 , x ? 10, ? x 3x ?
(1)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一产品的产销过程中所获的年利润最大。 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)若函数在区间 ? t , t ?

1 ? ln x 。 x

? ?

1? ? (其中 t ? 0 )上存在极值,求实数 t 的取值范围; 2?

(2)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

a 恒成立,求实数 a 的取值范围,并且判断代数式 x ?1

? (n ? 1)!?

2

与 (n ? 1) ? e

n?2

(n ? N * ) 的大小。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何选讲】 如图 4, 已知圆 O1 与圆 O2 外切于点 P , 过点 P 的直线交圆 O1 于点 A , 交圆 O2 于点 B ,AC 为 O1
D

的直径, BD 切 O2 于 B ,交 AC 延长线于 D 。 (1)求证: AD ? BD ; (2)求证:若 BC 、 PD 相交于点 M ,则 AP ? BM ? AD ? PM 。 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】

C ·O1 A

M

B

P ·O2

以 坐 标 原 点 O 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 。 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为 :
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? ? ? x ? 4 cos 3 ? t cos ? , ?? ? ? ( ? 为参数, t ? 0 ) ,点 N ? ? 2 cos ? ? ? ? ,曲线 C2 的参数方程为: ? 3? ? ? y ? 2sin ? ? t sin ? , ? 3 ?
的极坐标为 ? 4,

? ?

??

?。 3?

(1)若 M 是曲线 C1 上的动点,求 M 到定点 N 的距离的最小值; (2)若曲线 C1 与曲线 C2 有两个不同交点,求正数 t 的取值范围。 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 若 a 、 b 、 x 、 y 均为正实数,并且 x ? y ? 1 ,求证: ab ? (ax ? by )(ay ? bx) ?

( a ? b) 2 4

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云南师大附中 2014 届高考适应性月考卷(一)理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 B 6 C 7 B 8 A 9 C 10 D 11 A 12 B

【解析】 5.由已知 b ? 10a ,∴A、C、D 均满足,而 10b ? 10a ?1 ,故选 B. 6.由已知 0≤4x≤4 ,且 ln x ? 0 , x ? 0 ? 0 ? x ? 1,故选 C. 7.执行程序后,输出 10 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? 10) ,故选 B.
?1? 8.由指数函数 y ? 2 x , y ? ? ? 与对数函数 y ? log 2 x , y ? log 1 x 的图象可得 a ? b ? c ,故选 A. ?2? 2
x

9.由已知,可判断 f ( x) 是以 4 为周期的周期函数,又∵ f ( x) 是 R 上的偶函数,
∴f (1) ? f (?1) ,又当? 2≤x≤0 时, f ( x) ? log2 (1 ? x) ,

∴ f (2013) ? f (503 ? 4 ? 1) ? f (1) ? f (?1) ? log2 [1 ? (?1)] ? 1 ,故选 C. 10. y ? ?
?4e x ?4e x ,由基本不等式知 ?1≤ x ? 0 ,即 ?1≤tan ? ? 0 ,又 ? ?[0, π) , x 2 (e ? 1) (e ? 1)2

? 3π ? ∴ ? 的取值范围是 ? , π ? ,故选 D. 4 ? ?

11.∵函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 的定义域是 {x x ? 0} , 又 f ?( x) ? 4 x ?
1 4 x2 ? 1 (2 x ? 1)(2 x ? 1) , ? ? x x x

∴若函数 f ( x) 在其定义域的一个子 区间 (t ? 1, t ? 1) 上不是单调函数,
1 ? 3? ? t ? ?1, ? ,故选 A. 2 ? 2? m?n 12. f ?( x) ? x2 ? mx ? ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1) , 2

则有 0≤t ? 1 ?

图1

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?m ? n ? 2 ? 0, ? f ?(0) ? 0, ? x2 ? (1, ? ?) ,故有 ? ?? ? f ?(1) ? 0 ?1 ? m ? m ? n ? 0, ? ? 2
?m ? n ? 0, 即? 作出区域 D,如图 1 阴影部分, ?3m ? n ? 2 ? 0,

可得 log a( ? ?4) ? ,∴1 ? a ? 3 ,故选 B. 1 1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13.取 x ? 3, 则 f (1) ? 32 ? 1 ? 10 . 14.由已知, f (a) ? a3 cos a ? 1 =10,∴ a3 cos a ? 9 , 又∵函数 h(a) ? a 3 cos a 是奇函数,∴ h(?a) ? ?9 ,故 f (?a) ? ?9 ? 1 ? ?8 . 15. f ?( x) ? (2 x ? 1)e x ? e x ( x 2 ? x ? 1) ? e x ( x 2 ? 3x ? 2) , 由 f ?( x) ? 0 解得函数 f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e x ( x ?R) 的单调减区间为(?2,?1) . 16.∵ M ? {x | x2 ? ax ? b ? 0} , N ? {x | kx 2 ? 4 x ? k ? 3≥0} , (? R M ) ? N ? N , ∴ N ? ? R M ,又∵ (? R M ) ? N ? ?x | ?2≤x≤3? , ∴ ? R M ? ?x | ?2≤x≤3? , ∴ M ? {x | x ? ?2或x ? 3} ,若 k≥0 时,显然 N ? ? R M 不成立,∴ k ? 0 , 由 N ? ? 且 N ? ? R M 可知方程 F ( x) ? kx 2 ? 4 x ? k ? 3 ? 0 的两根都在区间 [?2, 3] 内, 13 10 14 ?8 15 (?2,?1) (或闭区间) 16
3? ? ? ?4, ? 2 ? ? ?

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? ? k ? 0, ? ? ?≥0, 3? 3 ? ? ∴ ? F (?2)≤0, 解之得 ?4≤k≤ ? ,故 k ? ? ?4, ? ? . 2? 2 ? ? F (3)≤0, ? 2 ? ? ?2≤ ? k ≤3, ?

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)令 f ( x) ? 0 ,得 sin x( 3 sin x ? cos x) ? 0 , 所以 sin x ? 0, tan x ? ?
3 . 3

??????????(2 分)

???????????????????(4 分) ?????????????????(5 分)

?π ? 由 sin x ? 0, x ? ? , π ? ,得 x ? π , 2 ? ?

由 tan x ? ? 得x?
5π , 6

3 ?π ? , x ? ? , π? , 2 3 ? ?

??????????????????????????(6 分)
5π . 6

综上, f ( x) 的零点为 x ? π 或 x ?

???????????????(7 分) ????????????????(9 分) ?????????????(11 分) ???????(12 分)

1 (Ⅱ) g ( x) ? sin x cos x ? sin 2 x , 2

由 2 x ? kπ ?

π kπ π ( k ? Z) 得 x ? ? (k ? Z) , 2 2 4

即函数 g ( x) 的图象的对称轴方程为: x ? 18. (本小题满分 12 分)

kπ π ? (k ? Z) . 2 4

解:设该游客选择游玩甲、乙、丙景点的概率依次为 P , P2 , P3 ,由题意知 1
? P (1 ? P2 )(1 ? P3 ) ? 0.08, ? P ? 0.4, 1 1 ? ? P P2 (1 ? P3 ) ? 0.12, 解得 ? P2 ? 0.6, ? 1 ?1 ? (1 ? P )(1 ? P )(1 ? P ) ? 0.88, ? P ? 0.5. ? 3 1 2 3 ?

????????????(3 分)

(Ⅰ)依题意, ? 的所有可能取值为 0,2.

? =0 的意义是:该游客游玩的旅游景点数为 3,没游玩的旅游景点数为 0;或游玩的旅游景
点数为 0,没游玩的旅游景点数为 3,
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故 P(? ? 0) ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.6)(1 ? 0.5) ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.24, 而函数 f ( x) ? x2 ? ? x 是R上的偶函数时 ? =0, 所以 P( A) ? P(? ? 0) ? 0.24 .

??????(6 分)

?????????????????(8 分) ???????????(10 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? 0.76,

? 的概率分布列为:
?
P 0 0.24 2 0.76

其数学期望是: E(? ) ? 0 ? 0.24 ? 2 ? 0.76 ? 1.52 . ????????????(12 分) 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:在题图中,由题意可知,

BA⊥PD ,ABCD 为正方形,所以在图 2 中, SA⊥AB, SA ? 2 ,
四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 因为 SB⊥BC, AB⊥BC ,且 SB ? AB ? B , 所以 BC⊥ *面 SAB, ?????????????(3 分)

又 SA ? *面 SAB,所以 BC⊥SA, 又SA⊥AB ,且 BC ? AB ? B ,
图2

所以 SA⊥ *面 ABCD.

????????????(6 分)

???? 1 ???? (Ⅱ)解:方法一: 如图 2,在 AD 上取一点 O,使 AO ? AD ,连接 EO. 3 ??? 1 ??? ? ? 因为 SE ? SD ,所以 EO//SA , ?????????????????(7 分) 3

所以 EO⊥ *面 ABCD,过 O 作 OH⊥AC 于 H,连接 EH, 则 AC⊥*面 EOH,所以 AC⊥EH . 所以 ?EHO 为二面角 E?AC?D 的*面角,
2 4 EO ? SA ? . 在 Rt△AHO 中, 3 3
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????????????(9 分)

2 2 2 . ???????????(11 分) ?HAO ? 45?, HO ? AO ?sin 45? ? ? ? 3 2 3 1 所以二面角 E?AC?D 的余弦值为 . ???????????????(12 分) 3

方法二:以 A 为原点建立空间直角坐标系,如图 3,
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0),
? 2 4? S (0, 0, 2), E ? 0, , ? , ? 3 3?

??????????(7 分)

??? ? 易知*面 ACD 的法向量为 AS ? (0, 0, 2) ,

? 设*面 EAC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,
???? ??? ? 2 4 ? ? AC ? (2, 2, 0), AE ? ? 0, , ? , ? 3 3?
图3

????????????????(9 分)

? ???? ? x ? 2, ? n ? AC ? 0, ? x ? y ? 0, ? ? 由 ? ? ??? 所以 ? 可取 ? y ? ?2, ? ? y ? 2 z ? 0, ? n ? AE ? 0, ? z ? 1, ? ?

? 所以 n ? (2, ? 2, 1) ,

????????????????????(11 分)

? ??? ? ? ??? ? n ? AS 2 1 ? , 所以 cos < n, AS >? ? ??? ? ? n AS 2 ? 3 3

1 所以二面角 E?AC?D 的余弦值为 . 3

???????????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)当 0 ? x≤ 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? 10
x3 ? 10 , 30

?????????????????????????????(2 分) 当 x ? 10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?
? x3 ?8.1x ? ? 10, 0 ? x≤10, ? 30 ∴W ? ? ?98 ? 1000 ? 2.7 x, x ? 10. ? 3x ?

1000 ? 2.7 x , 3x

????????(4 分)

??????????????????(6 分)

(Ⅱ)①当 0 ? x≤ 时,由 W ? ? 8.1 ? 10

x2 ? 0 ,得 x ? 9 . 10

当 x ? (0, 9) 时, W ? ? 0 ;当 x ? (9, 10] 时, W ? ? 0 ,
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∴当 x ? 9 时,W 取得最大值,即 Wmax ? 8.1? 9 ?

1 ? 93 ? 10 ? 38.6 . 30

?????????????????????????????(9 分)
1000 ? 1000 ? ②当 x ? 10 时, W ? 98 ? ? ? 2.7 x ?≤98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 , 3x ? 3x ?

当且仅当

1000 100 时,W 取得最大值 38. ? 2.7 x ,即 x ? 3x 9

综合①②知:当 x ? 9 时,W 取得最大值为 38.6 万元, ?????????(11 分) 故当年产量为 9 千件时,该公司在这一产品的产销过程中所获的年利润最大. ???????????????????????????(12 分) 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?
1 ? ln x ln x , x ? 0 ,则 f ?( x) ? ? 2 , x x

????????(1 分)

当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增;在 (1, ? ?) 上单调递减, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值. ????????????????(2 分)

1? ? 因为函数 f ( x) 在区间 ? t , t ? ? (其中t ? 0) 上存在极值, 2? ? ?t ? 1, 1 ? 所以 ? 1 解得 ? t ? 1. ??????????????????(4 分) 2 t ? ? 1, ? 2 ?

a ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) , , 即为 ≥a, 记 g ( x) ? x ?1 x x [( x ? 1)(1 ? ln x)]? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x 所以 g ?( x) ? . ????????(5 分) ? x2 x2

(Ⅱ)不等式 f ( x)≥

令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x) ? 1 ?

1 , x

∵x≥ ,∴h?( x)≥0 , 1
∴h( x) 在 [1, ? ?) 上单调递增,
∴ h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 , [

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故 g ( x) 在 [1, ? ?) 上也单调递增,所以 [ g ( x)] min ? g (1) ? 2, 所以 a≤2 . 由上述知 f ( x)≥ ????????????????????????(7 分)

2 x ?1 2 2 恒成立,即 ln x≥ ?1? ?1? , x ?1 x ?1 x ?1 x 2 令 x ? n(n ? 1) ,则 ln[n(n ? 1)] ? 1 ? , n(n ? 1)

∴ ln(1? 2) ? 1 ?

2 2 2 , ln(2 ? 3) ? 1 ? , ln(3 ? 4) ? 1 ? ,?, 1? 2 2?3 3? 4 2 , ?????????????????????(9 分) ln[n(n ? 1)] ? 1 ? n(n ? 1)

? 1 1 1 ? 叠加得 ln[1 ? 22 ? 32 ? ? ? ?? n2 (n ? 1)] ? n ? 2 ? ? ? ??? ? n(n ? 1) ? ?1 ? 2 2 ? 3 ?

1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ??n?2 . ? n ?1?

则 1? 22 ? 32 ? ???? n2 (n ? 1) ? en ?2 , 所以 [(n ? 1) ]2 ? (n ? 1) ? en ?2 (n ? N? ) . ! ???????????????(12 分)

22. (本小题满分 10 分)【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)如图 4,过点 P 作两圆公切线交 BD 于 T, 连接 PC ,∵AC 为直径,∴?APC ? 90? ,

∴?BPC ? ?TPC ? ?TPB ? 90? , ?A ? ?ACP ? 90? ,
又 BD 与⊙O2 相切于 B, PT 为两圆公切线,
图4

∴?TPC ? ?A , ?TBP ? ?TPB , ∴?TPB ? ?ACP ? ?TBP , ∴?A ? ?TBP ? 90? ,

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故 ?ADB ? 90?, ∴AD⊥BD .

????????????????????(5 分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ)易证 △APC ∽ △ADB , ∴
PC AP 又由(Ⅰ)知∠ACP=∠DBP, ? , BD AD PC PM ? , BD BM

∴P、B、D、C 四点共圆,又易证 △PCM∽△BDM ,∴ ∴
PM AP ? , BM AD

∴ AP ?BM ? AD ?PM .

????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
2 1? ? 3? ? 解: (Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,可得点 N (2, 2 3) ,曲线 C1 为圆 ? x ? ? ? ? y ? ? ?1, ? 2? ? 2 ? ? ? 2

?1 3? 圆心为 O1 ? , ? 2 2 ? ,半径为 1, ? ? ?

∴ O1 N =3, ∴ MN 的最小值为 3 ? 1 ? 2 . ??????????????????(5 分)
2

2 1? ? 3? ? (Ⅱ)由已知,曲线 C1 为圆 ? x ? ? ? ? y ? ? ?1, ? 2? ? 2 ? ? ?

曲线 C2 为圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? t 2 (t ? 0) ,圆心为 O2 (2, ∵曲线 C1 与曲线 C2 有两个不同交点,
2 1? ? 3? ? ∴t ?1 ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? t ? 1, t ? 0 , ? 2? ? 2 ? ? ? 2

3) ,半径为 t,

解得 3 ? 1 ? t ? 3 ? 1 , ∴正数 t 的取值范围是 ( 3 ? 1,
3 ? 1) .

??????????????(10 分)

24. (本小题满分 10 分)【选修 4?5:不等式选讲】
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证明: ax ? by)(ay ? bx) ? ab ? a2 xy ? b2 xy ? abx2 ? aby 2 ? ab ( ? xy(a 2 ? b2 ) ? ab( x 2 ? y 2 ? 1) ? xy(a 2 ? b2 ) ? ab[( x ? y)2 ? 2 xy ? 1] .

????????????????(3 分)

∵x ? y ? 1,
∴(ax ? by)(ay ? bx) ? ab ? xy(a 2 ? b2 ) ? 2abxy

? xy (a ? b)2≥0 ( x, y ? 0) ,

? ab≤(ax ? by)(ay ? bx) .

?????????????????????(6 分)
2 2

? (ax ? by ) ? (ay ? bx) ? ? a ( x ? y ) ? b( x ? y ) ? 又 (ax ? by )(ay ? bx)≤ ? ? ?? ? 2 2 ? ? ? ? ( a ? b) ?a?b? ?? . ? ? 4 ? 2 ?
2 2

? ab≤(ax ? by)(ay ? bx)≤

(a ? b)2 . 4

?????????????????(10 分)

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