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人教版高中数学课时分层作业1任意角新人教A版必修4

发布时间:

课时分层作业(一) 任意角

(建议用时:40 分钟)

[学业达标练]

一、选择题

1.角-870°的终边所在的象限是( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

C [-870°=-3×360°+210°,∴-870°是第三象限,故选 C.]

2.在-360°~0°范围内与角 1 250°终边相同的角是( )

【导学号:84352006】

A.170°

B.190°

C.-190°

D.-170°

C [与 1 250°角的终边相同的角 α =1 250°+k·360°,k∈Z,因为-360°<

α <0°,所以-13661<k<-13265,因为 k∈Z,所以 k=-4,所以 α =-190°.]

3.若 α 是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是( )

A.90°-α B.90°+α

C.360°-α

D.180°+α

C [因为 α 是第一象限角,所以-α 为第四象限角,所以 360°-α 为第四象限角.] 4.若 α =k·180°+45°,k∈Z,则 α 所在象限是( )

A.第一或第三象限

B.第一或第二象限

C.第二或第四象限

D.第三或第四象限

A [当 k=0 时,α =45°为第一象限角,当 k=1 时,α =225°为第三象限角.] 5.已知角 2α 的终边在 x 轴的上方,那么 α 是( )

A.第一象限角

B.第一、二象限角

C.第一、三象限角

D.第一、四象限角

C [由题意知 k·360°<2α <180°+k·360°(k∈Z),故 k·180°<α <90°+ k·180°(k∈Z),按照 k 的奇偶性进行讨论.当 k=2n(n∈Z)时,n·360°<α <90°+ n·360°(n∈Z),所以 α 在第一象限;当 k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α < 270°+n·360°(n∈Z),所以 α 在第三象限.故 α 是第一或第三象限角.]

二、填空题

6.已知角 α 的终边在图 1?1?6 中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么 α ∈

________.

【导学号:84352007】

图 1?1?6

{α |n·180°+30°<α <n·180°+150°,n∈Z} [法一:(并集法)

在 0°~360°范围内,终边落在阴影内的角为 30°<α <150°和 210°<α <

330°.

所以 α ∈{α |k·360°+30°<α <k·360°+150°,k∈Z}∪{α |k·360°+

210°<α <k·360°+330°,k∈Z}={α |2k·180°+30°<α <2k·180°+150°,

k ∈ Z} ∪ {α |(2k + 1)·180° + 30° < α < (2k + 1)·180° + 150° , k ∈ Z} =

{α |n·180°+30°<α <n·180°+150°,n∈Z}.

法二:(旋转法)

观察图形可知,图中阴影成“对角型”区域,其中一个区域逆(或顺)时针旋转 180°,

恰好与另一个区域重合,由此可知 α ∈{α |n·180°+30°<α <n·180°+150°,n

∈Z}.]

7.与 2 013°角的终边相同的最小正角是________,绝对值最小的角是

________.

213° -147° [与 2 013°角的终边相同的角为 2 013°+k·360°(k∈Z).当 k

=-5 时,213°为最小正角;当 k=-6 时,-147°为绝对值最小的角.]

8.若 α ,β 两角的终边互为反向延长线,且 α =-120°,则 β =________.

【导学号:84352008】

k·360°+60°(k∈Z) [在 0°~360°范围内与 α =-120°的终边互为反向延长

线的角是 60°,所以 β =k·360°+60°(k∈Z).]

三、解答题

9.在与 530°终边相同的角中,求满足下列条件的角.

(1)最大的负角;

(2)最小的正角;

(3)-720°到-360°的角.

【导学号:84352009】

[解] 与 530°终边相同的角为 k·360°+530°,k∈Z.

(1)由-360°<k·360°+530°<0°且 k∈Z,可得 k=-2,故所求的最大负角为 -190°.
(2)由 0°<k·360°+530°<360°且 k∈Z,可得 k=-1, 故所求的最小正角为 170°. (3)由-720°≤k·360°+530°≤-360°且 k∈Z,可得 k=-3,故所求的角为- 550°. 10.已知集合 A={α |k·180°+45°<α <k·180°+60°,k∈Z},集合 B= {β |k·360°-55°<β <k·360°+55°,k∈Z}. (1)在*面直角坐标系中,表示出角 α 终边所在区域. (2)在*面直角坐标系中,表示出角 β 终边所在区域. (3)求 A∩B. [解] (1)角 α 终边所在区域如图(1)所示. (2)角 β 终边所在区域如图(2)所示.

图(1)

图(2)

(3)由(1)(2)知 A∩B={γ |k·360°+45°<γ <k·360°+55°,k∈Z} .

[冲 A 挑战练]

1.已知 θ 为第二象限角,那么θ3 是(

)

A.第一或第二象限角

B.第一或第四象限角

C.第二或第四象限角 D.第一、二或第四象限角 D [∵θ 为第二象限角,∴90°+k·360°<θ <180°+k·360°,k∈Z,

∴30°+k·120°<θ3 <60°+k·120°,k∈Z,

当 k=0 时,30°<θ3 <60°,属于第一象限,

当 k=1 时,150°<θ3 <180°,属于第二象限,

当 k=-1 时,-90°<θ3 <-60°,属于第四象限,
∴θ3 是第一、二或第四象限角.] 2.角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,则 α 与 β 的关系为( )
【导学号:84352010】 A.α +β =k·360°,k∈Z B.α +β =k·360°+180°,k∈Z C.α -β =k·360°+180°,k∈Z D.α -β =k·360°,k∈Z B [法一:(特殊值法)令 α =30°,β =150°,则 α +β =180°.故 α 与 β 的 关系为 α +β =k·360°+180°,k∈Z. 法二:(直接法)因为角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,所以 β =180°-α + k·360°,k∈Z,即 α +β =k·360°+180°,k∈Z.] 3.终边落在直线 y= 3x 上的角的集合为________. {α |α =60°+n·180°,n∈Z} [如图所示终边落在射线 y= 3x(x≥0)上的角的集合是 S1={α |α =60°+k·360°,k∈Z},终 边落在射线 y= 3x(x≤0)上的角的集合是 S2={α |α =240°+ k·360°,k∈Z}.于是终边落在直线 y= 3x 上的角的集合是 S= {α |α =60°+k·360°,k∈Z}∪{α |α =240°+k·360°,k∈Z}={α |α =60°+ 2k·180°,k∈Z}∪{α |α =60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α |α =60°+n·180°, n∈Z}.] 4.若角 α 满足 180°<α <360°,角 5α 与 α 有相同的始边,且又有相同的终边, 那么角 α =________. 270° [由于 5α 与 α 的始边和终边相同,所以这两角的差应是 360°的整数倍, 即 5α -α =4α =k·360°.又 180°<α <360°,令 k=3,得 α =270°.] 5.已知 α ,β 都是锐角,且 α +β 的终边与-280°角的终边相同,α -β 的终 边与 670°角的终边相同,求角 α ,β 的大小.
【导学号:84352011】 [解] 由题意可知: α +β =-280°+k·360°,k∈Z. ∵α ,β 为锐角,

∴0°<α +β <180°.

取 k=1,得 α +β =80°,



α -β =670°+k·360°,k∈Z.

∵α ,β 为锐角,

∴-90°<α -β <90°.

取 k=-2,得 α -β =-50°,



由①②得:α =15°,β =65°.




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